剑指 Offer 14- I. 剪绳子

题目内容

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

1
2
3

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

1
2
3

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

1	2 <= n <= 58

解法一:动态规划

思路：

对于的长度为n的绳子，当 n ≥ 2 时，可以剪成至少两个绳子。令 k 是剪出的第一段绳子，则剩下的部分是 n−k，n−k 可以不继续剪，或者继续剪成至少两段绳子

算法：

dp[i] 表示将长度为 i 的绳子剪成至少两段绳子之后，这些绳子长度的最大乘积

当 i ≥ 2 时，假设对长度为 i 绳子剪出的第一段绳子长度是 j（1≤j<i），则有以下两种方案：

将 i 剪成 j 和 i-j 长度的绳子，且 i−j 不再继续剪，此时的乘积是 j×(i−j) ；
将 i 剪成 j 和 i−j 长度的绳子，且 i−j 继续剪成多段长度的绳子，此时的乘积是 j×dp[i−j] 。

因此，当 j 固定时，有 dp[i]=max(j×(i−j),j×dp[i−j])。由于 j 的取值范围是 1 到 i ，需要遍历所有的 j 得到dp[i]的

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {

        if(n == 2)return 1;
        vector<int> dp(n+1);
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3;i<=n;i++){
            for(int j=2;j<i;j++){
                dp[i] = max(dp[i] ,max(j*(i-j),dp[i-j] * j ));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

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解法二：贪心算法

思路：
核心思路是：尽可能把绳子分成长度为3的小段，这样乘积最大。

算法

如果 n === 4，返回4
如果 n > 4，分成尽可能多的长度为3的小段，每次循环长度n减去3，乘积res乘以3；最后返回时乘以小于等于4的最后一小段

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {

        if(n<4)return n-1;
        int res = 1;
        while(n>4){
            res*=3;
            n -= 3;
        }
        return res*n;
    }
};

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